Matematica: Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană (euclidiană). Teorema lui Pitagora afirmă că "în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei". Dacă se notează cu $a\,$ şi $b\,$ lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, şi cu $c\,$ lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora poate fi formulată algebric astfel:

$a^2 + b^2 = c^2. \,$

Teorema lui Pitagora este în acelaşi timp şi una dintre teoremele cele mai demonstrate (poate teorema cu cele mai multe demonstraţii independente), şi una dintre cele mai uşor demonstrabile. The Pythagorean Proposition, o carte scrisă de Elisha Scott Loomis şi publicată (în câteva ediţii) în America conţine 370 de demonstraţii, inclusiv una aparţinând fostului preşedinte american James Garfield.
Reciproca este adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât $a 2 + b 2 = c 2$ , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a şi b va fi drept.

Scurt istoric

Deşi această teoremă se atribuie astăzi filozofului şi matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al şaselea, îdC, se ştie cu siguranţă că a fost cunoscută de mai toate civilizaţiile Pământului de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonieni, egiptenii antici, chinezii antici şi alţii. Subiectul acesta poate fi împărţit în trei: cunoaşterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoaşterea teoremei propriu-zise, şi cunoaşterea unei demonstraţii.

Tripletele pitagoreice sunt conoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea uni unghi drept în condiţii practice: o sfoară este marcată cu noduri echidistante; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 şi 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (Insulele Britanice) conţin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoşteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean şi din Mesopotamia menţionează triplete pitagoreice.

Sulba Sutra, scrisă în secolul 8 î.e.n. de Baudhayana (în India) conţine o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunţ al teoremei, precum şi o demonstarţie pentru un triunghi dreptunghic isoscel.

Sulba Sutra (circa 600 î.e.n.) de Apastamba conţine o demonstraţie numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susţin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India .

Pitagora (aproximativ 569 - 475 î.e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 şi 485 e.n.. După sir Thomas L. Heath, teorema nu îi este atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuşi, atunci când autori cum ar fi Plutarch şi Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca şi cum acesta era un lucru binecunoscut şi de necontestat.

În jurul anului 400 î.e.n., conform lui Proklos, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combina algebra şi geometria. După aproximativ 100 de ani, Euclid în lucrarea Elemente a dat prima demonstraţie axiomatică a teoremei.

Scris între 500 î.e.n. şi 200 e.n., textul chinezesc Chou Pei Suan Ching conţine o demonstraţie vizuală a teoremei.

De fapt, nu numai că nu se poate şti cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privinţa întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizaţii.

Demonstraţii

Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstraţie va folosi (uneori indirect sau mai puţin vizibil) axioma lui Euclid.

Una din multele demonstraţii vizuale

Această imagine ilustrează una dintre multele demonstraţii vizuale. Această demostraţie este o demonstraţie simplă, dar nu este şi o demonstraţie elementară.

Suprafeţele ambelor pătrate mari sunt egale cu $(a + b)^2\,$ . Dacă suprefeţele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor $a\,$ şi $b\,$ (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul $c\,$ la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a celorlalte dreptunghiuri (fiecare fiind format iniţial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel iniţial), se obţine figura din dreapta, cu suprafaţă identică cu cea din stânga.

Calculând suprafaţele celor două pătrate (care oricum sunt egale), obţinem:

$S = a^2 + b^2 + 4 \frac{ab}{2}$ (pentru pătratul din stânga)

$S = c^2 + 4 \frac{ab}{2}$ (pentru pătratul din dreapta)

Avem deci $c^2 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab \,$ , ceea ce duce direct la teorema noastră.

Demonstraţie geometrică

Demonstraţia teoremei, folosind triunghiuri asemenea

Iată o demonstraţie bazată pe construirea unor triunghiuri asemenea şi pe proprietatea lor de a avea laturi proporţionale:

Fie ABC un triunghi dreptunghic (de ipotenuză AB, ca în figură). Construim înălţimea din C, şi notăm cu H intersecţia acesteia cu latura AB. Triunghiul ACH este asemenea cu triunghiul iniţial ABC, din cauză că este dreptunghic şi are comun unghiul cu vârful în A, (deci şi al treilea unghi va fi congruent în cele două triunghiuri). În mod similar se poate arăta că şi triunghiul CBH este asemenea cu ABC. Ajungem la următoarele relaţii:

$\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}\ si \frac{CB}{AB}=\frac{HB}{CB}.\,\!$