Despre mine

Ma numesc Strateanu Cristina, sunt studenta in anul III la Facultatea de Matematica, sectia matematica-informatica, grupa MI531. Intotdeauna am fost pasionata de matematica. In cele ce urmeaza am incercat sa prezint cateva notiuni fundamentale de geometrie.

Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană (euclidiană). Teorema lui Pitagora afirmă că "în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei". Dacă se notează cu şi lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic, şi cu lungimea ipotenuzei acestuia, atunci teorema lui Pitagora poate fi formulată algebric astfel:

Teorema lui Pitagora este în acelaşi timp şi una dintre teoremele cele mai demonstrate (poate teorema cu cele mai multe demonstraţii independente), şi una dintre cele mai uşor demonstrabile. The Pythagorean Proposition, o carte scrisă de Elisha Scott Loomis şi publicată (în câteva ediţii) în America conţine 370 de demonstraţii, inclusiv una aparţinând fostului preşedinte american James Garfield.
Reciproca este adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a² + b² = c² , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a şi b va fi drept.

Scurt istoric

Deşi această teoremă se atribuie astăzi filozofului şi matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al şaselea, îdC, se ştie cu siguranţă că a fost cunoscută de mai toate civilizaţiile Pământului de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonieni, egiptenii antici, chinezii antici şi alţii. Subiectul acesta poate fi împărţit în trei: cunoaşterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoaşterea teoremei propriu-zise, şi cunoaşterea unei demonstraţii.

Tripletele pitagoreice sunt conoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea uni unghi drept în condiţii practice: o sfoară este marcată cu noduri echidistante; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 şi 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.

Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (Insulele Britanice) conţin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoşteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean şi din Mesopotamia menţionează triplete pitagoreice.

Sulba Sutra, scrisă în secolul 8 î.e.n. de Baudhayana (în India) conţine o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunţ al teoremei, precum şi o demonstarţie pentru un triunghi dreptunghic isoscel.

Sulba Sutra (circa 600 î.e.n.) de Apastamba conţine o demonstraţie numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susţin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India .

Pitagora (aproximativ 569 - 475 î.e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 şi 485 e.n.. După sir Thomas L. Heath, teorema nu îi este atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuşi, atunci când autori cum ar fi Plutarch şi Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca şi cum acesta era un lucru binecunoscut şi de necontestat.

În jurul anului 400 î.e.n., conform lui Proklos, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combina algebra şi geometria. După aproximativ 100 de ani, Euclid în lucrarea Elemente a dat prima demonstraţie axiomatică a teoremei.

Scris între 500 î.e.n. şi 200 e.n., textul chinezesc Chou Pei Suan Ching conţine o demonstraţie vizuală a teoremei.

De fapt, nu numai că nu se poate şti cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privinţa întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizaţii.

Demonstraţii

Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstraţie va folosi (uneori indirect sau mai puţin vizibil) axioma lui Euclid.

Una din multele demonstraţii vizuale

• Această imagine ilustrează una dintre multele demonstraţii vizuale. Această demostraţie este o demonstraţie simplă, dar nu este şi o demonstraţie elementară.

• Suprafeţele ambelor pătrate mari sunt egale cu . Dacă suprefeţele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor şi (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a celorlalte dreptunghiuri (fiecare fiind format iniţial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel iniţial), se obţine figura din dreapta, cu suprafaţă identică cu cea din stânga.

• Calculând suprafaţele celor două pătrate (care oricum sunt egale), obţinem:
  

(pentru pătratul din stânga)

(pentru pătratul din dreapta)

Avem deci , ceea ce duce direct la teorema noastră.

Demonstraţie geometrică

Demonstraţia teoremei, folosind triunghiuri asemenea

Iată o demonstraţie bazată pe construirea unor triunghiuri asemenea şi pe proprietatea lor de a avea laturi proporţionale:

Fie ABC un triunghi dreptunghic (de ipotenuză AB, ca în figură). Construim înălţimea din C, şi notăm cu H intersecţia acesteia cu latura AB. Triunghiul ACH este asemenea cu triunghiul iniţial ABC, din cauză că este dreptunghic şi are comun unghiul cu vârful în A, (deci şi al treilea unghi va fi congruent în cele două triunghiuri). În mod similar se poate arăta că şi triunghiul CBH este asemenea cu ABC. Ajungem la următoarele relaţii:

Care se mai pot scrie:

si

Adunând cele două egalităţi, obţinem teorema lui Pitagora:

Generalizare

Teorema lui Pitagora generalizată, numită şi Legea cosinusurilor, este valabilă în orice triunghi şi poate fi exprimată astfel:

unde θ este unghiul dintre laturile şi .

Teorema medianei

În geometria plană, teorema medianei stabileşte o relaţie între lungimea unei mediane dintr-un triunghi şi lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un caz particular al teoremei lui Stewart.

Enunţ

Fie ΔABC cu M mijlocul laturii (BC). Atunci:

,

unde m_a = AM, a = BC, b = AC, c = AB.

Consecinţe

Într-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare unghiului drept este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Legături externe

• en Wolfram's MathWorld: Stewart's Theorem

Teorema bisectoarei

În geometrie, teorema bisectoarei exprimă o relaţie între lungimile segmentelor determinate de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade şi cele ale laturilor acelui unghi.

În această diagramă, BD:DC = BA:CA.

Cuprins: 1.Enunt Într-un triunghi ABC, bisectoarea unghiului A determină pe latura opusă (BC) segmente proporţionale cu laturile unghiului: Din scrierea relaţiei algebrice se poate remarca o metodă mnemotehnică: înlocuirea lui D cu A (şi invers) nu schimbă valoarea raportului. 2. Propoziţii înrudite Teorema bisectoarei externe: Bisectoarea externă a unghiului A (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri externe BAC' şi B'AC) determină pe dreapta BC (în exteriorul segmentului BC) punctul E pentru care are loc relaţia: . Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există. Reciproca este adevărată: dacă un punct D interior laturii BC o împarte pe aceasta în segmente ce respectă relaţia de mai sus, atunci AD este bisectoarea unghiului A. 3. Legături externe en O proprietate a bisectoarelor unui unghi en Demonstraţie pentru Teorema bisectoarei en Altă demonstraţie pentru Teorema bisectoarei

Geometria euclidiană

Geometria euclidiană este cea mai veche formalizare a geometriei, şi în acelaşi timp cea mai familiară şi mai folosită în viaţa de zi cu zi. Aşa după cum indică şi adjectivul euclidiană, aceasta a fost enunţată prima dată de către gânditorul Euclid, din Grecia antică, în secolul al IV-lea î.Hr..

Geometria euclidiană este un ansamblu de leme, corolare, teoreme şi demonstraţii, care foloseşte doar patru noţiuni fundamentale: punct, dreaptă, plan şi spaţiu, şi care se bazează pe următoarele cinci axiome, enunţate de Euclid în cartea sa Elementele:

1. Prin oricare două puncte neconfundate trece o dreaptă şi numai una;
2. Orice segment de dreaptă poate fi extins la infinit (sub forma unei drepte);
3. Dat fiind un segment de dreaptă, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele segmentului şi care are segmentul drept rază;
4. Toate unghiurile drepte sunt congruente;
5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singură paralelă la acea dreaptă.

În geometria euclidiană, trei puncte necoliniare determină un plan şi numai unul, iar patru puncte necoplanare determină un spaţiu.

Începând cu secolul al XVIII-lea s-au dezvoltat alte formalizări ale geometriei (pe scurt numite "geometrii") care nu acceptă una sau mai multe din axiomele lui Euclid. Acestea poartă numele colectiv de geometrii neeuclidiene.

APOLLONIOS (262-180 i.e.n.)

- STUDIUL CONICELOR
- PRIMELE PATRU CARTI DIN CONICELE
- ULTIMELE PATRU CARTI
- ALTE OPERE ALE LUI APOLLONIOS

Apollonios din Perga, “Marele geometru”, a trait la sfarsitul secolului al III-lea si inceputul secolului al II-lea i.e.n. la Alexandria, Efes si Pergam. Principala lui opera, tratatul intitulat Conicele, cuprinde 8 carti, dintre care primele 7 s-au pastrat pana in zilele noastre, 4 in greceste, iar celelalte in araba.
Celelalte lucrari ale lui Apollonios, foarte numeroase, ne sunt cunoscute indirect, mai ales prin intermediul comentariilor lui Pappus, deoarece numai una dintre ele, prima de pe lista, a ajuns pana la noi, si aceasta intr-o versiune araba. Este vorba de lucrarile intitulate Despre sectionarea intr-un raport, Despre sectionarea intr-o arie, Despre sectionarea determinata, Despre inclinatii, Despre locurile plane, Despre contacte, Okytokion (literal – Nasteri rapide.) – opera de logistica in care se pare ca era expus un sistem de numeratie pentru numere mari, mai practic decat cel al lui Arhimede, si care se pare ca este cel care a precumpanit la greci. Multumita lui Geminos, se mai cunoaste o lucrare despre surub sau elicea cilindrica. Marinos din Napoli citeaza un Tratat universal, in care erau examinate – probabil, intr-o maniera critica – fundamentele matematicii si din care ne-au ramas cateva fragmente fie in Comentariul lui Proclos la prima carte a lui Euclid, fie in Definitiile atribuite lui Heron.

Arhimede (287-212 i.e.n.)

- METODA
- PARABOLA
- SFERA SI CILINDRUL
- CONOIZII SI SFEROIZII
- CORPURILE PLUTITOARE
- SPIRALELE
- MASURAREA CERCULUI
- NUMERATIA: ARENARIUM

Se povesteste ca Arhimede din Siracuza a fost ucis de un soldat, la virsta de 75 de ani, in anul 212, in timp ce romanii jefuiau orasul lui natal. In afara de lucrarile de matematica, siracuzanul a fost celebru prin inventiile din domeniul mecanicii si pentru ingeniozitatea cu care a organizat apararea patriei sale.
Lista scrierilor lui care au ajuns pana la noi cuprinde, intr-o ordine pe cat posibil cronologica, urmatoarele:

1. Prima carte Despre echilibrul planelor.
2. Memoriul: Cvadratura parabolei.
3. A doua carte Despre echilibrul planelor.
4. Cele doua carti Despre sfera si cilindru.
5. Tratatul Despre spirale.
6. Tratatul Despre conoizi si sferoizi.
7. Cele doua carti Despre corpurile plutitoare.
8. Masurarea cercului.
9. Arenarium (problema numararii firelor de nisip).
10. Scrisoarea catre Eratostene Despre metoda, un fel de testament stiintific, in care Arhimede dezvaluie, in parte, secretul descoperirilor sale.

O culegere de leme tradusa din araba este, in forma ei actuala, fara indoiala, apocrifa. Ea contine totusi propozitii, elegante insa elementare, care figureaza, probabil, in unele din operele pierdute.
De altfel, Pappus da destul de multe detalii despre cele 13 poliedre semiregulate inventate de Arhimede. Lui Arhimede i se mai atribuie si o epigrama, asa-numita “problema a taurilor lui Helicon”, care conduce la ecuatia nedeterminata, in numere intregi: , unde, in plus, trebuie sa fie divizibil cu 9314. Pentru a scrie in sistemul nostru de numarare valorile cele mai mici ale numerelor cautate, ar fi nevoie de 744 de pagini dintr-o lucrare de formatul 14x33 cm² , continand 2600 de cifre pe fiecare pagina. Bineinteles, Arhimede da numai enuntul…

METODA. Scrisoarea catre Eratostene, care a fost gasita abia in 1907, ne da cheia principalelor descoperiri ale lui Arhimede. Gratie ei si folosind dispunerea in ordine cronologica a memoriilor, realizata cu ajutorul prefetelor, ne putem face o reprezentare aproximativa a mersului gandirii acestuia.
Familiarizat cu legile staticii aplicate (nu trebuie uitat ca, pe vremea aceea, Siracuza era in avangarda progresului tehnic), Arhimede admite existenta unui centru de greutate la toate corpurile grele si in prima carte Despre echilibrul planelor incearca o reconstituire logica a acestor legi, pornind de la un numar minim de postulate. Atitudinea lui matematica se manifesta clar inca de aici. El nu aplica, in general, matematica la tehnica; din contra, tehnica este inspiratoarea lucrarilor lui teoretice. Dupa ce stabileste legea parghiei, el trece la studiul centrului de greutate al celor mai simple figuri plane, in particular, al triunghiului.
Aceste cercetari ii inspira cateva reflectii care au deschis matematicii o cale noua, bogata in perspective. El da explicatii despre noua metoda inca de la inceputul scrisorii catre Eratostene, ilustrand-o pe exemplul segmentului de parabola, prima arie careia a reusit sa-i faca exact cvadratura.
In acest rationament prin inductie deosebit de puternic, pe care Arhimede il utilizeaza in scrisoarea lui si pentru multe alte cvadraturi si cubaturi, doua sunt faptele deosebit de remarcabile. Primul este utilizarea staticii pentru descoperiri geometrice; Arhimede nu are prejudecati de purist si se foloseste de analogii fecunde intre cele doua domenii diferite ale stiintei. Al doilea este asimilarea ariei cu o suma de segmente rectilinii, a volumului cu o suma de sectiuni plane si, in general, asimilarea unui continuu cu suma unui numar infinit de entitati indivizibile.
Cavalieri va relua aceasta cale in secolul al XVII-lea si metoda se va dovedi la fel de fecunda, insa subtilul italian va ramane, intr-o anumita masura, prizonierul propriei sale descoperiri si nu va reusi sa completeze analiza intuitiva facuta de el cu o sinteza riguroasa. Precursorul lui reusise insa, in mod elegant, sa depaseasca acest pas dificil, ceea ce ne da o proba manifesta de amploarea geniului lui Arhimede.

PARABOLA. Intr-adevar, in Cvadratura parabolei, el elimina succesiv cele doua dificultati. Intr-o prima demonstratie, el pastreaza acelasi desen din scrisoarea catre Eratostene, dar nu mai descompune segmentul de parabola intr-o infinitate de drepte. Din contra, el inscrie in segment si circumscrie acestuia doua serii de trapeze. Efectuand rationamentul potrivit metodei sale, el arata, in continuare – facand apel la exhaustiunea lui Eudoxos – ca aria segmentului nu poate fi nici mai mare, nici mai mica decat o treime din aria triunghiului.
Insa aceasta demonstratie riguroasa ramane inca tributara principiilor staticii si nu-l satisface complet pe Arhimede. De aceea, el da o demonstratie strict geometrica in care urmareste pas cu pas demonstratia folosita de Eudoxos la cubatura piramidei:
ABC este segmentul de parabola, C este punctul in care tangenta este paralela la AB, D – punctul in care tangenta este paralela la AC, iar E – punctul in care tangenta este paralela la BC. Triunghiurile ADC si CEB, care sunt egale intre ele, au fiecare ca arie 1/8 din aria triunghiului ACB.
Seria avand ca limita 4/3 , Arhimede arata ca segmentul nu poate fi nici mai mic, nici mai mae decat 4/3 din triughiul ABC.

In cartea a doua Despre echilibrul planelor, Arhimede cauta centrul de greutate al segmentului de parabola. Demonstratia este facuta in mai multe etape. Ea se bazeaza pe inscrierea in segmentul de parabola a seriei de triunghiuri folosite deja la cvadratura geometrica. Se stabileste mai intai, printr-un rationament prin exhaustiune, ca centrul de greutate se afla pe diametrul segmentului. Propozitia a 5-a arata apoi ca el este mai aproape de varful segmentului decat centrul de greutate al figurii inscrise. Demonstratia, ca atare, este remarcabila: ea constituie primul exemplu, cunoscut cu certitudine, de rationament prin inductie completa sau prin recurenta (cu conditia, bineinteles, ca puristii moderni sa accepte sa ierte grecilor ca nu si-au formulat demonstratiile dupa toate canoanele cuvenite). Se demonstreaza apoi ca distanta dintre cele doua centre de greutate poate fi facuta oricat de mica dorim si dupa aceea ca centrele celor doua segmente de parabola impart diametrele respective intr-un acelasi raport care, dupa legile staticii, are valoarea 3/2.

SFERA SI CILINDRUL. In scrisoarea catre Eratostene, Arhimede expune rationamentul prin care statica i-a permis sa gaseasca raportul dintre sfera si cilindrul circumscris. El adauga:
“Examinarea acestei propozitii m-a condus la ideea ca suprafata oricarei sfere este egala cu patru cercuri mari ale sferei. Intr-adevar, am admis ca, dupa cum cercul este echivalent cu triunghiul care are ca baza circumferinta cercului si ca inaltime raza acestuia, tot asa sfera este echivalenta cu conul care are ca baza suprafata sferei si ca inaltime raza.”
Prima dintre cele doua carti Despre sfera si cilindru – una dintre operele cele mai celebre ale siracuzanului – este consacrata tocmai stabilirii riguroase a acestor rezultate. Ea debuteaza cu enuntul urmatoarelor postulate:

“1. Dreapta este linia cea mai scurta care ii uneste extremitatile.
2. Daca doua linii plane, convexe, care unesc doua puncte date, sunt situate de acceasi parte a dreptei care uneste aceste puncte, iar una dintre linii o cuprinde pe cealalta, linia care cuprinde este cea care este mai mare.
3. Tot asa, dintre toate suprafetele care au aceleasi limite, planul este suprafata minima, daca limitele sunt plane.
4. Daca dintre doua suprafete care sunt limitate de un acelasi plan si sunt situate de acceasi parte a planului, una infasoara pe cealalta, infasuratoarea are suprafata mai mare.”
5. Postulatul lui Arhimede, asa cum l-am formulat mai sus.

Dupa Arhimede, si inca din antichitate, postulatele 1 si 3 au fost deseori considerate drept definitiile dreptei si respectiv, planului, ca de exemplu in Definitiile atribuite lui Heron din Alexandria. Incepand cu editia Euclid, datorata lui Campanus (secolul al XIII-lea), dreapta a fost deseori definita in special in invatamantul francez ca fiind drumul cel mai scurt.
Pe baza celor 5 postulate si folosind un rationament subtil prin exhaustiune, geometrul stabileste mai intai ca suprafata laterala a unui con sau a unui cilindru drept este mai mare decat cea a piramidei sau a prismei inscrise, dar mai mica decat aria laterala a piramidei sau a prismei circumscrise. De aici el obtine, in continuare, valoarea ariei laterale a conului si a cilindrului drept, exprimata, bineinteles, nu prin formule sau canoane care fac apel la calcule, ci in comparatie cu ariile cercurilor. In epoca aceea, canoane de felul acesta existau numai in geodezie si in geometria aplicata. In invatamantul elementar s-a pastrat, in mare – mai putin rigurozitatea – mersul rationamentelor care conduc de aici la aria si volumul sferei.

A doua carte Despre sfera si cilindru rezolva diferite probleme folosind metodele algebrei. Cand este vorba sa se gaseasca sfera care are acelasi volum ca un con sau un cilindru dat, Arhimede reduce rezolvarea la problema inscrierii a doua medii iproportionale intre doua lungimi date. Vom vedea ceva mai tarziu ca Apollonios va proceda la fel in Cartea a V-a din Conice. Asadar, pentru ambii – deoarece nici unul nici altul nu fac nici cel mai mic comentariu cu privire la operatia folosita – inserarea celor doua medii proportionale era o problema banala, cunoscuta la perfectie de toata lumea. Pe ei nu-i deranjeaza catusi de putin faptul ca problema nu este rezolvata cu ajutorul riglei si compasului.
Informatiile cele mai precise cu privire la aceasta problema celebra le datoram comentariului lui Eutokios la tratatul lui Arhimede.
Pentru a sectiona o sfera, printr-un plan, in doua segmente ale caror volum sunt intr-un raport dat, geometrul propune sa se imparta un segment AB printr-un punct X, astfel incat raportul dintre AX si o lungime data sa fie egal cu raportul dintre o arie data si patratul lui XB, adica


El promite sa se ocupe mai tarziu de aceasta problema noua despre care semnaleaza ca, in general, are o “limitare” – un “diorism” – insa nu ne-a parvenit nimic din lucrarea promisa. Tacerea lui Arhimede este rascumparata in parte de Eutokios, care formuleaza mai multe solutii obtinute prin intersectarea conicelor, printre care si una pe care o considera ca apartine in intregime siracuzanului.
Pe de alta parte, tinand seama de polemicele contemporane lui Arhimede dintre matematicienii de la Alexandria, polemici ale caror ecou subzista intr-o prefata a lui Apollonios, ne putem intreba daca nu cumva Arhimede se dispensa, in aceasta problema, de folosirea sectiunilor conice, folosind tehnici – de pilda, inclinatiile – cazute rapid in desuetudine dupa moartea lui.
Arhimede face din nou aluzie la aceasta problema in tratatul Despre conoizi si sferoizi. Astazi, problema s-ar exprima printr-o ecuatie de gradul al treilea de un tip foarte bine studiat. In fine, ultima propozitie este un caz de “diorism” sau de “determinare”; ea stabileste ca dintre toate segmentele sferice care au aceeasi arie semisfera are volumul maxim.

CONOIZII SI SFEROIZII. In cartea Despre conoizi si sferoizi isi fac aparitia trei noi corpuri de revolutie. Sferoidul este generat prin rotirea unei elipse in jurul uneia dintre axe si este “turtit”, daca axa de rotatie este axa mica a elipsei, si “alungit”, cand rotatia se face in jurul axei mari. Conoidul obtuzunghic se obtine prin rotirea ramurii de hiperbola un jurul axei transversale, iar conoidul drept – prin rotirea parabolei in jurul axei proprii. Arhimede, care, in scrisoarea catre Eratostene, calculeaza raportul dintre volumele acestor corpuri si volumele conurilor folosind procedeele sale de statica si stabileste pozitiile centrelor de greutate ale segmentului de conoid dreptunghic, semisferei, segmentului sferic, segmentului de sferoid si conoidului obtuzunghic, isi propune aici sa compare volumele prin procedee pur geometrice.
Metoda lui de calcul capata acum o forma care se apropie, in mod surprinzator, de calculul integral modern. El insereaza volumele de studiat intre doua serii de cilindri, prima – formata din cilindri inscrisi, a doua – din cilindri circumscrisi. Deoarece cele doua volume totale ale seriilor de cilindri nu difera decat prin volumul ultimului cilindru din serie, diferenta dintre ele poate fi facuta arbitrar de mica. Pentru a ajunge la formulele finale, Arhimede foloseste inegalitatile:

si

In esenta, se poate spune ca, in aceasta lucrare, Arhimede a ajuns la conceptul de integrala definita. Metoda statica folosita mai inainte ii sugerase principiul descompunerii in straturi paralele. Aici insa, principiul acesta este eliberat de consideratiile straine de geometrie si, pe de o parte, este imbinat cu algoritmul seriilor numerice pe care il punea la dispozitie traditia numerelor figurative, iar pe de alta parte, datorita metodei de exhaustiune a lui Eudoxos, este inzestrat cu o structura riguroasa care trebuia sa-i asigure din plin forta sa doveditoare.

CORPURILE PLUTITOARE. In prima carte a lucrarii Despre corpurile plutitoare, Arhimede pune bazele hidrostaticii. Lagrange in Mecanica analitica, da un excelent rezumat al acelei lucrari:
“Arhimede formuleaza urmatoarele doua principii pe care le considera drept principii experimentale si pe care isi fundamenteaza intreaga teorie: 1. Natura fluidelor este astfel, incat partile mai putin apasate sunt impinse de cele care sunt apasate mai mult, iar fiecare parte este totdeauna apasata de intreaga greutate a coloanei verticale de fluid care ii corespunde; 2. Tot ceea ce este impins in sus de catre un fluid este impins totdeauna dupa perpendiculara care trece prin centrul lui de greutate.
Din primul principiu, Arhimede trage mai intai concluzia ca suprafata unui fluid ale carui parti sunt presupuse ca apasand toate catre centrul Pamantului, trebuie sa fie sferica, pentru ca fluidul sa fie in echilibru. Dupa aceea, el demonstreaza ca un corp la fel de greu ca un volum egal de fluid trebuie sa se cufunde complet, pentru ca, daca consideram doua piramide egale din fluidul presupus in echilibru in jurul centrului Pamantului, cea in care corpul nu s-ar scufunda decat in parte ar exercita o presiune mai mare decat cealalta asupra centrului Pamantului sau, in general, asupra unei suprafete sferice oarecare pe care ne-o imaginam in jurul acestui centru. El dovedeste in felul acesta ca corpurile mai usoare decat un volum egal de fluid nu se pot cufunda decat pana ce partea cufundata ocupa locul unui volum de fluid la fel de greu ca intregul corp; de aici el deduce urmatoarele teoreme ale hidrostaticii: corpurile mai usoare decat volume egale din fluidul in care sunt cufundate sunt impinse de jos in sus cu o forta egala cu excesul greutatii fluidului dislocat asupra greutatii corpului cufundat, si corpurile mai grele pierd din greutatea lor o parte egala cu cea a fluidului dislocat.”
Arhimede se foloseste apoi de-al doilea principiu formulat de el pentru a stabili legea echilibrului corpurilor care plutesc. El demonstreaza ca orice segment de sfera mai usor decat un volum egal de apa, care este cufundat in apa, trebuie, in mod necesar, sa se dispuna astfel, incat baza lui sa fie orizontala. Demonstratia data de Arhimede arata ca daca baza ar fi inclinata, greutatea portiunii exterioare lichidului, considerata concentrata in centrul de greutate a acesteia impeuna cu impingerea verticala a lichidului, considerata de asemenea ca fiind concentrata in centrul de greutate al partii cufundate, ar tinde totdeauna sa roteasca corpul pana ce baza acestuia ar deveni orizontala.
In cartea a doua, Arhimede aplica acelasi principiu la echilibrul unui segment de “conoid dreptunghic” sau, folosind terminologia actuala, al unui segment de paraboloid de revolutie. Inca de la inceputul acestei carti, se admite in mod tacit ca suprafata apei este un plan orizontal si ca verticalele sunt drepte paralele. Arabescurile stralucite in jurul noii teme care constituie continutul acestei carti nu urmaresc vreun scop utilitar; ele nu sunt decat exercitii indraznete si elegante intreprinse exclusiv pentru placerea creatorului lor si a cititorilor capabili sa le inteleaga.

SPIRALELE. Tratatul Despre spirale este consacrat studiului unei curbe definite cinematic: spirala lui Arhimede.
Toata partea acestui memoriu care se refera la cvadraturi este tratata in acelasi spirit ca si lucrarea Despre conoizi si sferoizi. Merita sa ne oprim asupra problemei determinarii tangentelor, deoarece, in privinta aceasta, lucrarea constituie cel mai vechi tratat de calcul diferential.
Pentru matematicienii greci, o curba se obtine cu ajutorul miscarii unui punct: un prim exemplu il constituie definitia spiralei. Alte exemple ne sunt oferite de cvadratricea lui Hippias (sau a lui Dinostrates) si de elicea cilindrica a lui Apollonios. Un alt exemplu care dateaza din secolul al IV-lea figureaza in solutia data de Archytas problemei celor doua medii proportionale, asa cum ne-o relateaza Eutokios dupa o marturie a lui Diogene Laertiu: “Archytas a fost primul care a folosit miscarea in rezolvarile si descrierile geometrice.”. Este adevarat ca Apollonios descrie conicele ca sectiuni plane printr-un con, dar suprafata conului este ca insasi definita, in prealabil, prin miscarea continua a unei linii drepte. Pe de alta parte, in toate textele grecesti cunoscute, o curba plana inseamna frontiera – sau o parte din frontiera – dintre doua regiuni ale planului, dintre care una, “figura”, nu poate contine decat segmente de dreapta, dar nu si drepte intregi, nelimitate, si este, in general, un domeniu convex.
Tangenta la curba intr-unul dintre punctele acesteia este atunci o dreapta infinita, care trece prin acel punct si ramane exterioara figurii cel putin in vecinatatea punctului. O astfel de conceptie impune insa nu numai demonstrarea existentei tangentei intr-un punct al curbei dar, in cazul existentei acesteia, si a unicitatii ei. Aceasta a doua parte a demonstratiei consta in a arata ca oricare alta dreapta, diferita de tangenta, care trece prin punctul de contact, sectioneaza in mod necesar figura. Cei trei mari matematicieni greci care au tratat problema si ale caror scrieri au ajuns pana la noi – Euclid pentru cerc, Apollonios pentru conice si Arhimede pentru spirala care-i poarta numele – au procedat exact asa si cu aceeasi scrupulozitate.
Antichitatea s-a ocupat si de curbe strambe, dar nu dispunem de nici un text are sa faca aluzie la tangentele la astfel de curbe.
Arhimede trece sub tacere analiza care i-a permis sa gaseasca tangenta la spirala lui, insa aici, partea delicata rezida nu in aceasta analiza, ci in sinteza pe care el o expune cu mana de maestru. Este relativ usor de demonstrat ca dreapta presupusa tangenta este, intr-adevar, exterioara figurii, insa este mult mai dificil de stabilit ca ea este singura care se bucura de aceasta proprietate. Rationamentul lui Arhimede vadeste aici o frumoasa eleganta geometrica, insa ca de obicei, marele matematician pretinde foarte multe din partea cititorului. Pentru a demonstra propozitia, Arhimede inlocuieste o problema transcendeta prin alte doua probleme, care sunt algebrice si de grad mai mare decat 2. Acestea sunt asa-numitele intercalari, cazuri particulare de neusis. El se opreste aici si lasa pe seama cititorului discutia acestor probleme pe care o considera banala. Pappus ii reproseaza acest fapt, insa este usor sa i se dea satisfactie, inlocuindu-le, la randul lor, prin altele de gradul I; este tocmai ceea ce se face astazi, in mod curent, in calculul diferential.
Arhimede enunta, in prefata, rezultatul esential al studiului sau: “Daca o dreapta este tangenta la spirala in punctul care este ultima extremitate a acesteia si daca pe dreapta care s-a rotit pana ce si-a reluat locul se ridica o perpendiculara pe extremitatea fixa a acesteia, pana la intalnirea cu tangenta, spun ca dreapta astfel dusa pana la intersectie este egala cu circumferinta cercului”.

MASURAREA CERCULUI. Se poate spune ca memoriul Despre spirale face parte din cercetarile teoretice cu privire la rectificarea circumferintei cercului. Cat priveste micul tratat despre Masurarea cercului el face parte din cercetarile cu caracter practic referitoare la aceeasi problema. El constituie un frumos exemplu de geodezie greaca sau de geometrie practica.
Se stie ca, pentru egipteni, cercul era echivalent cu un patrat cu latura cat 8/9 din diametru. Aceasta revine la a adopta pentru π valoarea . Babilonienii, in calculele lor mai precise, admiteau aproximatia (in numeratia sexagesimala) adica 31/8. Desi nu ne-a ramas nici un document, este de presupus ca grecii, in cursul diferitelor tentative de cvadratura, au fost condusi sa adopte valori care erau apropiate de cele de mai sus si a caror exactitate era mai mult sau mai putin bine stabilita.
Micul tratat al lui Arhimede arata, in prima propozitie, ca in cazul cercului, problema cvadraturii este echivalenta cu problema rectificarii circumferintei. Mai exact, el stabileste, prin metoda exhaustiunii, ca cercul este echivalent cu triunghiul dreptunghic care are una dintre laturile unghiului drept egala cu raza, iar cealalta latura egala cu circumferinta. A doua propozitie stabileste ca daca circumferinta este din diametru, cercul este 11/4 din patratul acestuia. In fine, a treia propozitie demonstreaza, in mod riguros, ca circumferinta este cuprinsa intre din diametru, cu alte cuvinte, ca aceasta ultima valoare, atat de simpla, este o aproximatie prin exces, imprecizia ei fiind, grosso modo, mai mica decat 1/500.
Punctul slab al logisticii grecesti, arta calculului, consta in secolul al III-lea, in absenta fractiilor sistematice. In secolul al II-lea, astronomii au facut apel la fractiile sexagesimale babilonene, conferind acestora o perenitate cvasiabsoluta, deoarece le mai folosim si azi pentru masurarea unghiurilor si a timpului. In acest tratat, Arhimede foloseste in calcule numai fractiile obisnuite.
El o face, ca de obicei, cu o mana de maestru, fara insa sa dea nici cea mai mica explicatie de detaliu. Astfel, fara sa clipeasca, el adopta pentru valoarea prin exces 1351/780 si valoarea prin lipsa 265/153. Ambele valori sunt excelente, ele reprezentand reduse ale dezvoltarii lui in fractie continua.

NUMERATIA: ARENARIUM. Ultimul tratat care ne-a ramas de examinat, Arenarium, se refera la logistica numerelor intregi, adica la numeratie.
Grecii utilizau doua procedee de scriere a numerelor. Primul, sistemul atic, numit uneori si herodian, era analog sistemului roman care s-a pastrat pana in zilele noastre. Literele I, II, Δ, H, X, M reprezentau, respectiv, numerele 1, 5, 10, 100, 1000 si 10000.
Ca si sistemele analoge lui, sistemul atic nu se putea preta la calcule cat de cat complicate (asa cum s-a intamplat ulterior si cu sistemul latin). Aceste calcule necesitau utilizarea tablelor socotitoare sau a abacelor, pe care se manipulau jetoane.
Insa probabil de pe la mijlocul secolului al V-lea si, mai ales, incepand din secolul al III-lea, grecii au inceput sa utilizeze, intre altele, si o savanta numeratie scrisa, semipozitionala si zecimala, bazata pe principiul urmator: primele 9 litere ale alfabetului grecesc reprezentau primele 9 numere; alte 9 litere reprezentau primele 9 zeci si, in fine, urmatoarele 9 litere – primele 9 sute. Petru mii se lua alfabetul de la inceput, insa jos, in stanga literei, se plasa un indice.
In decursul timpului, numeratia aceasta a suferit mai multe modificari. De exemplu, la Diofant, miriadele (adica zecile de mii) puteau fi separate de mii printr-un simplu punct.
Arhimede isi propune sa elaboreze mai departe acest sistem de numarare – mai putin practic decat cel folosit de noi, insa foarte comod in calcule – pentru a-i permite sa reprezinte numere extrem de mari.
El reuseste, in cele din urma, sa enunte un numar egal cu , adica unu urmat de 800 de milioane de zerouri, si ilustreaza procedeul imaginat de el, calculand un numar mai mare decat numarul grauntilor de nisip care ar putea fi continuti in sfera stelelor fixe. Arhimede foloseste aceasta problema drept pretext pentru a expune succint sistemul astronomic al lui Aristarh din Samos.
Calea indicata de Arhimede pentru a ajunge la scrierea numerelor foarte mari n-a fost urmata; s-a preferat o cale mai simpla, datorata lui Apollonios si care foloseste o progresie in miriade.
Completata in astronomie prin adoptarea fractiilor sexagesimale, numeratia savanta a grecilor a fost instrumentul pe care l-au folosit toti calculatorii, in special astronomii, pana la introducerea cifrelor asa-zise arabe, pe care le folosim noi. Chiar si dupa adoptarea de catre matematicienii arabi a aritmeticii de pozitie, compatriotii lor, astronomii, au ramas mult timp fideli procedeului grecesc, adaptat alfabetului arab. In schimb, in Occident, dupa ruptura de Imperiul de rasarit, gasim exemple de calcule efectuate in continuare, cu ajutorul penibilei numeratii latine.